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北洋数学讲堂

江松院士带你探索偏微分方程

2019-04-23 00:00

它是数学的一个古老分支,它是推动众多领域发展的数学模型,它也是极具挑战的世界级公认难题,它就是偏微分方程(Partial Differential Equation,PDE)。2019年4月20日上午,中国科学院院士、北京应用物理与计算数学研究所研究员江松做客天津大学,在会议楼第七会议室做主题为“偏微分方程:作用、分析与数值求解”的报告,带领我校师生一探偏微分方程的奥秘。数学学院院长孙笑涛主持了活动。

“偏微分方程和计算数学是数学研究中的两大领域,希望通过今天的介绍,让今后有志于从事这两方面研究的同学有更好了解。”江松开场提到。他从偏微分方程的概念讲起,追溯了古典偏微分方程到现代偏微分方程理论的发展,阐释了偏微分方程的内涵。作为研究其他数学分支的关键工具,偏微分方程极大的促进了基础数学分支的发展;一系列代表性方程,如Euler及Navier-Stokes方程、Maxwell方程、Boltzmann方程、Einstein方程等,体现科学与工程技术及诸多领域与偏微分方程的“难分难舍”。当听到偏微分方程可以优化飞机设计、预言黑洞、推演社会发展时,这些令人惊叹的应用实例和科学论断,让同学们不禁感慨小小方程的无限潜力。

偏微分方程来源众多,应用广泛。每个子领域的研究自成一派,活力无限,因此“没有核心理论”是它的重要特点。而后,江松阐述了偏微分领域里数学理论研究中的基本问题——方程的适定性,即解的存在性、唯一性以及连续依赖性,引出国际上公认的数学难题,如高维空间的双曲守恒律、克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI)的千禧问题等。虽然有了一些最近进展和成果,但这些挑战性难题如同接力棒一般,驱使不同时代的科学家们继续求索。问题驱动着偏微分方程的研究,他列举了基础数学及应用领域的热点问题和共性问题,涉及环境、生物、金融、材料等方方面面。

数值求解与偏微分方程的研究密切相关。回顾古今中外计算数学的发展,精妙的求解方法层出不穷。而随着计算机的问世,提出了有限元、高精度、快速傅里叶变换等许多卓有成效的方法,计算数学的研究重点逐步转为大规模科学工程计算研究。江松指出,计算机技术日新月异,巨型计算机不算刷新计算速度,但使用起来更加困难。计算复杂问题周期太长、计算结果可靠与否未知,种种问题困扰着科学界。数学家可以在构造快速计算方法和并行计算方法上做出努力。

最后,他总结,偏微分方程和计算数学亟待解决的问题很多,是大有可为的领域。PDE研究人员要了解计算科学,从事计算的人员也应时刻关注PDE的现状和进展。

在提问环节,有同学对于科幻小说中方程预测社会发展很感兴趣。江松表示,偏微分方程确实可以对人口、环境等社会科学做出预测,但社会体系的变量过多、条件随机,“求解”是非常困难的,可以先从局部问题着手。计算数学专业学生问到如何与科研为伴,江松强调坚持不懈和计算方面动手能力的重要性,他建议学习计算的同学不仅要学习Matlab、python,还要熟练掌握C++等编程语言,利用人工智能手段求解计算问题在未来会备受青睐。

报告在浓厚而轻松的学术氛围中接近尾声。江松院士口中 “偏微分方程的故事”脉络清晰、幽默风趣、娓娓道来。史瓦西在一战战场上的黑洞预测,关于湍流的“上帝之问”,神威太湖之光的庞杂内核……他侃侃而谈,大师轶事、名言典故、代表事例信手拈来,令今天的主角——偏微分方程立体丰满,给听众留下挥之不去的印象,激励师生们传扬真理、续写华章。

文字:赵亚璁

图片:刘丽丽

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