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北洋数学讲堂丨陈木法院士分享交叉研究的感悟

2019-10-28 16:58

“‘交叉研究的感悟’,其实我对于这个报告的标题不是很喜欢,交叉研究的帽子很大,真实的题目应该是‘糊里糊涂的交叉研究感悟’。”一位古稀之年的学者,用谦逊幽默的方式开始了自己的报告。他是中国科学院院士、杰出的概率学家陈木法。2019年10月25日,陈木法院士受邀做客北洋数学讲堂,以探索矩阵最大特征值和特征向量的计算为主线,畅谈其对于交叉研究的心得感悟。



“陈木法先生的研究交叉性很强,除在概率论方面做出了很多重要的贡献外,还涉及数学物理、微分几何、过程随机分类。近年来他对矩阵的特殊值计算很感兴趣,并基于概率的方法,做了奇妙的变换,提升了精度和效能。”主持人王凤雨教授介绍后,陈木法院士结合不同时期的研究经历和时代背景,回顾了自己的数学研究生涯。从70年代推广优选法并应用于生产实践,到80年代末从事经济最优化研究,再到近四年来开展的计算数学研究,他笑称自己像个“流浪汉”,也正是现在报告的灵感来源。



之后,陈木法从复矩阵特征向量的逼近计算出发,引入一系列数学问题。在看似不收敛的向量列背后,实际上隐含着所谓“波动式收敛”的现象。通过其报告后半部分给出的“保角变换”的工具,完美的解释了其所蕴含的收敛现象。另一方面,陈木法从基本的“实对称矩阵的特征值均为实数”这一结论出发,引出判断矩阵的特征值是实值的的判定准则等问题。通过可配称矩阵的概念,短短几行的证明就揭示了一个很有意义的结果。并且给大家分享了得到这个结果的研究历程。进一步,结合Kolmogorov圈形定理,给出了配称测度的具体表达式。



与可配称矩阵类似,厄米(Hermite)矩阵的许多理论和算法也可以应用到可厄米矩阵。他进而讲解了厄米(Hermitizable)矩阵的概念和相关理论。在2018年,陈木法给出来一个矩阵可厄米化的等价准则。他特别指出,对于三对角矩阵(或者说生-灭矩阵),这一准则可以进一步具体化,即可用于刻画物种生灭的变化过程,有着非常重要的应用。



陈木法探讨了计算矩阵特征值与特征向量的算法问题和计算精度问题。从计算的角度讲,对称的情况容易计算,但数值估计可能不好,而非对称的情况一般来说不容易计算,针对这些问题,陈木法提出使用耦合(Coupling)方法,“绝处逢生”地解决了上述问题,并且使计算速度和精度都有大幅提升。他发现这些“改进的通用算法“可以应用到更一般的矩阵,并且在很多重要的例子上得到了令人满意的计算结果。

最后陈木法从华罗庚著作选集中“取学”,表达了个人的对于“学问家”广度和深度的理解。他认为各学科是一个整体、学科之间互相交叉、促进,但是要想跨领域必须有绅士风度,学会用“新思想”为所跨越的领域解决实质问题,即所谓“打洞”,建立“根据地”,让自己的研究所得如同流水一样自然而然地“漫”过不同学科方向的边界,而不是一蹴而就的“跳”过。



在交流互动环节,陈木法给遇到数学难题不知如何思考的同学“支招”。他结合自己在特征值研究时的体会,建议试试“走出去”,去参观访学,通过学本领精进自己的“武器装备”;还要舍得“高抬贵手”,愿意从不屑一顾的简单处着眼,探索未知的来路。



报告结束后,同学们簇拥在陈先生周围,求释疑,求签名,求合影,俨然一个追星现场。虽然和陈木法先生的接触只有短暂的一个半小时,但不难看出,他对于数学研究的执迷和沉浸,面对挑战难关的乐观和坦诚。“处于绝境,奇思妙想,绝地逢生”是他的锦囊妙计,即使被打败到“四脚朝天”,也能很快宽慰自己,转换情绪。这样的智慧和心态感染着在场的数学后辈,激励他们轻松上路,持续探索。

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