北洋数学讲堂

张继平院士漫谈群论

2020-09-22 09:35

“‘君子矜而不争,群而不党。’出自《论语·卫灵公》,指君子同大家互为朋友而不结党营私,矜持庄重而不与人争执。可见,这个‘群’还是值得我们去认真思考的。”一位师者侃侃而谈。这一幕让人误以为自己是在国学课堂,但这是天津大学数学学院2020级新生的第一堂数学课,站在讲台上的正是中国科学院院士、北京大学讲席教授张继平。2020年9月18日上午,张继平教授做客北洋数学讲堂,同刚刚步入大学校园的青年学生漫谈群论,畅聊心得。



“和学生交流最大的快乐是教学相长。”喜爱同学生交流,并从学生那获得知识,张继平的开场白一下子拉近了和新生的距离。一个数学家的性格气质往往与其研究方向的特点相得益彰,他希望通过探讨群论问题,可以让学生们感受到群论以外的东西。



张继平从汉字“群”的来历及其相关的古文讲起。耳熟能详的古语“物以类聚,人以群分”把我们和“群”联系在一起;孔子的“君子矜而不争,群而不党”则引发了关于“群”深层次的思考。很多人对数学研究的印象是关起门独自苦思冥想,但今天的数学已经不能用陈旧的观念定义,它需要更多的人团结协作。团结、团队,这正是群论精神,也是群论学家的气度风格。



那么数学中严格的群的定义是什么呢?张继平列出方程,娓娓道来。群即一个具有运算的集合,且该运算满足结合律,具有单位元,每个元都有逆元。群的概念的起源主要来源于著名天才数学家Galois当初考虑一元高次代数方程的根式求解问题。Galois创造性将该问题和方程根集合的所有置换(即系数域的保持系数不变的同构)构成的群联系起来。

如果群G为有限群且G为H的子群时,根据拉格朗日定理我们有|H|||G|。因此自然的,子群的概念和整数的因子联系起来。而整数的商诱导出来了所谓的商群。



类比于素数,人们有所谓的单群。张继平强调,找出所有的素数是一个非常困难而且未解决的问题。不过,群论学家通过合作,得到了著名的有限单群分类定理。该结果在1954-1983年间,由500多个群论学家写了2000来篇论文通力完成。该定理的第二代简化版本目前进展顺利,预计于2023年完成。这也是60年后,为了纪念Feit和Thompson的划时代结果:即任意奇数阶群为可解群。

该结论1963年发表在Pacific Journal of Mathematics,共有255页,被泰晤士报成之为当代最伟大的数学定理。后来很多人甚至包括数学大家Atiyah试图简化该定理都没能成功。虽然简化定理失败了,但Atiyah的文章留给后辈多个重要的数学思想。张继平不禁感慨,历史告诉我们,真正伟大的数学定理,其中的思想性,其中的简单美妙,都值得我们穷极一生去弄懂、欣赏并获得启迪。



随后,张继平给同学写下群论重要猜想Thompson's conjecture,播种下数学人求索的种子。在交流互动环节,张继平分享了对于魔群的看法,表达了学习抽象代数的建议。他强调,现在的数学发展来越综合,代数、分析、几何虽各有特点,但不能对某一门情有独钟,在大学阶段应视数学为一个整体。求方程的根就是代数问题,解一堆方程的根就是几何问题,用多项式逼近任意的函数就是分析问题。他用少林寺僧人习武比喻大学初期数学基本功的锻炼。改变观念,从零开始,哪怕“手无寸铁”,也要劳其筋骨,从一条定理修炼,掌握真本事。“天才”并非天生,必定经过汗水的浇灌,刻意无意的训练,才碰撞出精彩的灵感。

对一位数学家来说,最美妙的时刻莫过于手持粉笔,将脑海中一闪而过的灵感转换为指尖跃动的数学符号。从数学家看数学,张继平研究群论,讲授群论,自己更秉承群论的精髓,达观守则,从容笃定,这便是数学魅力所在。对于在场的莘莘学子,数学的奥义才刚刚开始。


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