教学成果

天津市一流本科建设课程-抽象代数

2020-10-05 14:17



课程名称

抽象代数

授课教师

孙笑涛、宋基建、余讯、周明铄



课程概述

本课程是数学系本科生高年级专业课,也是基础课《高等代数》的延伸和提高。根据以往学生的反馈结果,学生在学习完本课程之后,只记得枯燥乏味的定义、定理和证明,而不知道它们能具体解决什么问题。这极大地打击了学生的学习积极性,也不利于培养学生的数学修养和思维能力。因此,在重新设计本课程时,我们决定以解决经典的数学问题为导向,以自然的方式引入群、环、域中的基本概念。使学生明白抽象概念的引入是为了描述和解决具体的数学问题。希望以此激发学生的学习兴趣,同时也向学生介绍现代数学的一些重要思想,学会欣赏“抽象的美”。为实现这一目标,我们对抽象代数这门课的知识进行了重新梳理和编排,并自己编写了合适的讲义和教材。

课程内容

本课程的设计理念是以经典的数学问题为导向,按照学生接受概念由具体到抽象、由熟悉到陌生的次序进行讲授。围绕解方程问题,一些概念在整个课程中反复出现,逐渐加深,使学生更加容易理解和接受。

按照该理念,第一次课(2学时)向学生介绍了尺规作图问题及高次方程是否有根式解的问题。通过向学生展示3次方程的解公式说明“方程可解”的含义:它的解可通过有限次“四则混合运算+开根号”得到。从而说明我们考虑“对四则混合运算封闭的集合”的合理性,为域的定义埋下伏笔。同时向学生“通俗”地介绍了上述问题的解答,使学生有了解“群、环、域”的欲望。在紧接的第一章我们讲授了“域、环、群”及其同态的基本性质,第二章重点讨论了整数环和多项式环的唯一分解性,引入了唯一分解整环的概念(此处需要通过历史上的故事向学生说明“唯一分解性”的重要性)。通过前两章基本概念的学习,学生容易产生疲惫。所以在第三章我们首先向学生展示了如何利用所学概念描述和解决尺规作图问题。同时断言尺规作图问题实际上是“方程是否有根式解问题”的特殊情形以激发学生求知欲,并告诉学生:为了严格描述和解决“方程是否有根式解”问题,我们必须引入分裂域并研究它与方程系数域之间的“中间域”。在该章最后一节“群与域扩张”中,我们证明了“中间域”与“子群”的对应关系,为第四章“群论初步”的学习提供了动力。在第四章第四节“Galois群的可解性”中,我们证明了“Galois群可解”当且仅当“方程可解”,并完整证明了一般高次方程是“不可解”的。在第四章第五节,我们通过Sylow定理的证明向学生介绍了“群作用”的概念。此处我们强调了“群在集合上的作用定义了集合上的等价关系”,并重新解释陪集分解。第五章“模论初步”为选讲内容,视学生具体情况而定。

授课目标

天津大学要培养“具有家国情怀、全球视野、创新精神、实践能力的卓越人才”。数学学院围绕立德树人根本任务,在专业优质生源基础上,努力培养具有深厚数学功底、能创造性解决问题的拔尖人才。

1、知识:掌握群、环、域的基本概念和定理,尤其要了解它们产生的背景及如何应用它们描述和解决尺规作图问题与多项式方程是否有根式解的问题。

2、能力:由具体问题和例子,提炼一般概念的能力;具有宏观把握群、环、域及相关代数知识的逻辑思维能力和数学抽象能力。

3、素质:培养学生欣赏数学的能力,初步理解现代数学的思想和方法。"



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